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數(shù)學(xué)邏輯
數(shù)學(xué)邏輯專注在將數(shù)學(xué)置于一堅固的公理架構(gòu)上,并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果.現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論,且和理論計算機科學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)性。
數(shù)學(xué)嚴謹性
數(shù)學(xué)語言亦對初學(xué)者而言感到困難.如何使這些字有著比日常用語更精確的意思,亦困惱著初學(xué)者,如開放和域等字在數(shù)學(xué)里有著特別的意思.數(shù)學(xué)術(shù)語亦包括如同胚及可積性等專有名詞.但使用這些特別符號和專有術(shù)語是有其原因的:數(shù)學(xué)需要比日常用語更多的精確性.數(shù)學(xué)家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”.嚴謹是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部分.數(shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去.這是為了避免依著不可靠的直觀,從而得出錯誤的“定理”或“證明”,而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。在數(shù)學(xué)中被期許的嚴謹程度因著時間而不同:希臘人期許著仔細的論點,但在牛頓的時代,所使用的方法則較不嚴謹.牛頓為了解決問題所作的定義,到了十九世紀才讓數(shù)學(xué)家用嚴謹?shù)姆治黾罢降淖C明妥善處理。數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度.當大量的計算難以被驗證時,其證明亦很難說是有效地嚴謹.
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